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Matemática – Análisis Matemático – Álgebra


Aprender y enseñar matemática no es fácil. Lo sabe el frustrado alumno que se enfrenta, calculadora en mano, al despiadado ejercicio que Si necesitás Calculadora para hacer alguna cuentano le sale; y lo sabe el profesor, cuya frustración crece exponencialmente, al ver que su alumno se estrella una y otra vez, con la misma dificultad sin poder superarla.

Este es una problemática que no reconoce países, idiomas o fronteras...

¿Cómo superarlo?

Pregunta que no tendrá respuesta si de tu parte no hay dedición de trabajar. Soy profesora y no hago milagros. Si mentalmente te predispones a no entender, has perdido la pelea antes de comenzar.

Es un largo camino el que se debe transitar, parecido a una escalera ascendente, en la que no podemos saltar ningún escalón.

No hay recetas mágicas, sino mucho trabajo.


Magnitudes Vectoriales: Vectores

Autora: Silvia Sokolovsky


Cuando hablamos de magnitudes las clasificamos en dos grandes grupos: las escalares y las vectoriales. En el presente artículo nos ocuparemos de estas últimas.

Lo primero que suele preguntarse un alumno cuando comienza este tema es ¿Cómo reconozco a una magnitud vectorial?

La respuesta es otra pregunta que debemos hacernos... ¿hacia donde?

Pongamos un ejemplo para entender de que estamos hablando.

El desplazamiento es una magnitud vectorial, ya que podemos desplazarnos hacia la derecha, o hacia la izquierda, arriba o abajo. Es el motivo por el que podemos responder sin problemas la pregunta "¿hacia donde?"

Posiblemente tengas algunas monedas en tu bolsillo, si sumamos sus valores nos dará una magnitud (un valor), pero la pregunta ¿hacia donde? carece de sentido en este caso... por que estamos frente a una magnitud escalar. Sólo podemos indicar una cantidad.

La pregunta ¿hacia donde? apunta a dos características importantes de las magnitudes escalares, la dirección y el sentido.

El lenguaje coloquial (el que usamos todos los días) puede permitirse ser ambiguo, una palabra puede tener más de un significado. Esto no ocurre en ciencias como la matemática (o la física) donde cada término sólo puede tener un significado, de manera que no hay equivocación cuando nos referimos a él.Av. Juan B justo, Ciudad Autónoma de Buenos Aires

En el lenguaje de todos los días dirección y sentido son casi sinónimos, pero para las magnitudes vectoriales esto no es así. La dirección es la recta donde se ubica la magnitud vectorial, mientras que el sentido es hacia donde se dirige sobre la recta (sobre la dirección).

Mira la foto de la avenida de doble mano que aparece a la derecha de este párrafo. La avenida representa la recta de acción. Todo auto que la recorra tendrá "esa" dirección. Ahora La calle tiene dos manos, dos sentidos. El que se desplace hacia adelante será positivo y el que vaya en sentido contrario, negativo.

Si ubicamos una calle perpendicular a la primera tendremos a los ejes cartesianos.

Dentro de los ejes cartesianos tenemos infinitos puntos, pero sólo necesitamos dos. Inventémoslos indicando sus coordenadas.  

Primero pongamos al punto A cuyas coordenadas puede ser  (1, 1). Luego inventamos al punto B cuyas coordenadas serán (4, 5).

Por los dos puntos pasa una sola recta (que es la dirección de la magnitud vectorial) Ahora bien, tenemos dos posibilidades para el sentido, que vaya de A a B o de B a A. Para poder entender este concepto y hacerlo más fácil, ubiquemos una flecha cuya punta esté apunte primero a B (ya que su sentido va de A a B) y llamémosla AB. La otra flecha posible tendrá la punta en A y su comienzo en B, y le llamaremos BA.

 

En el dibujo podemos ver claramente los dos sentidos posibles. Esa flecha o segmento orientado lleva el nombre de vector.

Es interesante destacar que todo vector tiene un origen (A por ejemplo) y un final (B), así que el Vector AB. Si ubicamos el eje de coordenadas en el punto A (línea gris) nos queda que tanto A como B cambian de coordenadas. Las nuevas coordenadas de B corresponde a la resta de las coordenadas que A y B tenían anteriormente.

 

Pero no debemos confundirnos coordenadas de puntos con los complementos de un vector. Los valores asociados al vector AB se denominan componentes. Así A tiene coordenadas (1,1), B tiene coordenadas (4,5) pero el vector de AB tienen como componentes 3 y 4. Seguimos teniendo un par ordenado, AB = (3, 4).

Así que para hallar los componentes de un vector restando las coordenadas de sus extremos.

Generalicemos:

Sea A = (a, b) y B = (c, d); el vector AB ($ ) lo calcularemos haciendo la diferencia de B – A = (c – a, d – b)

$  = B – A = (a, b) – (c,d) = (c – a, d – b)

Ojo, no hay que confundir el punto (3,4) con el vector $   cuyas componentes son (2,4). Es más hay infinidad de vectores (3,4), ya que su punto de origen no es el mismo. Sus direcciones son paralelas.

Todo vector posee posee dirección y sentido, pero además aparece una tercera característica que es la magnitud escalar del mismo llamada norma (o módulo).

Hay que destacar que la norma y el módulo no son sinónimos, la norma se refiere a la longitud del vector mientras que el módulo está asociado a un número. Por eso la norma se escribe con una doble línea, encerramos al vector entre dos líneas, ||AB|| mientras que el módulo se escribe encerrando un número entre líneas simples, |5|.

Para calcular la longitud del vector (norma) aplicamos Pitágoras:.

De aquí en adelante el origen de los vectores será siempre el origen de coordenadas, por lo tanto se designará a un vector sólo con el punto que determina su extremo.

Sea A un vector de n dimensiones, A = {a1, a2, a3, . . . an} llamamos módulo, norma o simplemente longitud del vector al valor numérico (escalar) determinado por:

 

Resta de Vectores:

Restar dos vectores geométricamente implica "trazar" un tercer vector desde el extremo del primero hasta el extremo del segundo. Aritméticamente restamos las componentes verticales y horizontales entre sí.

A = (7, 2)

B = (5, 4)

A - B = (7, 2) - (5, 4) = (7 - 5, 2 - 4) = (2, - 2)

Suma de Vectores

Si tenemos dos vectores podemos sumarlos y hallar un tercero (llamado en física: resultante). Hay autores que indican que una magnitud es vectorial si se los puede sumar mediante en método del paralelogramo. 

Método del paralelogramo: es un método geométrico en el cual trazamos dos segmentos paralelos a la dirección de cada vector, por los extremos de los mismos. Uniendo la intersección de los vectores y de los segmentos paralelos (puntos en color) obtendremos el vector suma.

Analíticamente, se suman las componentes.

A = (0, 5)

B = (5, 4)

A + B = (0,5) + (5,4) = (0 + 5, 5 + 4) = (5, 9)

Propiedades:

  1. A + B = C (al sumar dos vectores se obtiene otro vector - ley de composición interna)

  2. a. A = a (x1 , x2) = (a x1 , a x2)  (para a Є R)  [el producto de un vector y un escalar da otro vector]

  3. (- 1) . A = - A (opuesto)        A- 1 = 1 / A (inverso)

  4. A + (B + C) = (A + B) + C   (propiedad asociativa)

  5.  A + B = B + A  (propiedad conmutativa)

  6.   a . (A + B) = a . A + a . B    (para a Є R)  (propiedad distributiva)

  7.  A (a + b) = A . a + A . b      (para a Є R, b Є R)

  8.  A + 0 = 0 + A = A  [0 representa el vector nulo (0, 0) que es neutro en suma]

  9.  A + (- A) = 0

  10.  1 . A = A  (1 es neutro en producto)

  11.  0 . A = 0  (0 es absorbente en el producto)

Los vectores que se encuentren en el plano pertenecerán a R2 y se llamarán "pares"; mientras los que se ubiquen en el espacio de tres dimensiones pertenecerán a R3 (llamándose ternas), si hay cuatro dimensiones pertenecerán a R4, así sucesivamente.

Vectores linealmente dependientes

Al multiplicar un vector por un escalar obtenemos otro vector que pertenece a la misma recta de acción (igual dirección) pero cambia su módulo y (dependiendo del signo del número) puede cambiar el sentido. Este vector es linealmente dependiente del primero.

a. A = a (x1 , x2) = (a x1 , a x2)

Si a = 3 y A = (2, - 5) Þ 3. (2, - 5) = (3. 2, 3. (-5)) = (6, - 15)

Tenemos dos vectores U = (2, 4) = 2 (1, 2) y V = (1, 2) que pueden sumarse dando como resultado el vector nulo, son linealmente dependientes.

a (2, 4) + b (1, 2) = (0, 0)

si a = 1 y  b = - 2 Þ

Þ 1(2, 4) + (- 2) (1, 2) = (2, 4) + (- 2, - 4) = (2 - 2, 4 - 4) = (0, 0)

Generalicemos: 

Dos vectores U y V son linealmente dependientes cuando los escalares a, b para los cuales se cumple: a. U + b. V = 0 no son nulos (no valen cero).

Vectores linealmente independientes

La definición es evidente, si el valor de a y b, para que la suma de un vector nulo, únicamente puede ser cero, entonces, los vectores son linealmente independientes.

 a. U + b. V = 0  ® si a = 0 y b = 0 (única opción) el sistema es linealmente independiente

 ® si a ¹ 0 y b ¹ 0 el sistema es linealmente dependiente

Combinación lineal: Base de vectores

La expresión " a. U + b. V" se llama combinación lineal de U, V.

Al ser U y V linealmente independientes pueden, al sumarse, generar cualquier vector del plano (llamémosle W). Así que U y V constituyen una base de los vectores del plano si todo vector W del plano se puede expresar de manera única como combinación lineal de U y V: 

a. U + b. V = W

Evidentemente dos vectores linealmente dependientes no podrán constituir nunca una base, ya que sólo darán, en su suma, vectores colineales a ellos.

Demos un ejemplo:

1) si a = 2 y  b = - 1 para:

a (2, 4) + b (1, 2) Þ 2 (2, 4) + (- 1) (1, 2) = (2. 2 - 1. 1 , 2. 4 - 1. 2) = (3, 6)

(2, 4) = 2 (1, 2) (linealmente dependientes)

(3, 6) = 3 (1, 2) (son colineales)

Así que {(2, 4), (1, 2)}no pueden formar una base.

2) si a = 2 y  b = - 1 para:

a (2, 0) + b (1, 2) Þ 2 (2, 0) + (- 1)(1, 2) = (2. 2 - 1. 2, 2. 0 - 1. 2) = (2, - 2)

Así que {(2, 0), (1, 2)}pueden formar una base. (verifica la independencia lineal de los vectores tú mismo/a)

Ángulo entre dos vectores

Los vectores pertenecen a una recta que determina su dirección. Estas rectas, a su vez, dividen al plano en dos; cada una de "esas partes" constituye un semiplano. Si tenemos dos vectores que no son colineales, cada una de las rectas determina un semiplano (uno por cada recta); la intersección de ambos semiplanos determina el ángulo que se encuentra entre ambos. El valor del ángulo está acotado entre los valores 0º y 180º (p). Si el ángulo es de 90º (p/2) los vectores son perpendiculares u ortogonales. Si poseemos dos vectores, no nulos, ortogonales, tenemos una base ortogonal. El hecho de ser ortogonales implica que son linealmente independientes.

Producto escalar (o interno)

Dado dos vectores A y B llamaremos producto escalar de A y B al número real determinado por:

A . B = | A | . | B | . cos a

Siendo a el ángulo entre ambos vectores.

Si tenemos dos vectores A = {a1, a2, . . ., an} y B = {b1, b2, . . ., bn} el producto escalar entre ambos puede hallarse mediante la sumatoria del producto de cada una de sus coordenadas.

A . B =  a1b1+ a2 b2 + . . . + an bn

Propiedades

  1. A . B = B . A

  2. A . (B + C) = A . B + A . C

  3. (a . A) . B = A . (a. B)                             (para a Є R)

  4. A . A > 0                                                 (para A ≠ 0)

  5. | A . B| < | A | . | B |                                  (desigualdad de Cauchy - Schwarz)

  6. Si A ≠ 0, B ≠ 0 y a = 90º → A . B = 0

(El producto escalar de vectores ortogonales es nulo ya que el cos 90º = 0.)

Aplicaciones en física: Trabajo Mecánico

¿Como se determina el valor del ángulo entre dos vectores?

A - B = C

(A - B)2 = C2

A2 - 2. A . B + B2 = C2

A2 - 2. A . B cos a + B2 = C2

¡¡Ojo!!, trabajamos con los módulos de los vectores

 Se aplica el cuadrado de un binomio

se aplica producto escalar

despejamos el "cos" del ángulo

 

 

"arccos" es en tu calculadora : "shift cos" o "2nd cos" depende del tipo de calculadora.

Producto vectorial

Dado dos vectores A y B llamaremos producto vectorial de

A = {a1, a2, a3} y B = {b1, b2, b3}

al vector determinado por: A x B =  (a2b3 - a3 b2 , a3b1 - a1 b3 a1 b2 - a2b1)

En este caso son vectores de R3 pero es aplicable a vectores de cualquier dimensión. El vector resultante será perpendicular al plano en el que se encuentran A y B..

Propiedades

  1. A x B = - (A x B)

  2. A x (B + C) = A x B + A x C

  3. (a . A) x B = A x (a. B)                             (para a que pertenece a R)

  4. A x B es perpendicular a A y a B

  5. (A x B) x C = A x (B x C)

  6. (A x B)2 = (A . A) . (B . B) - (A . B)2

  7. | A x B | = | A | . | B | . | sen a |

Aplicaciones en matemática:

Área: el producto vectorial se utiliza para calcular el área del paralelogramo determinado por los vectores

Ejemplo: | (2, 5) x (3, 2)| = | 2 . 2 -  5 . 3| = | 4 - 15| = | - 11| = 11.

Aplicaciones en física: Campo magnético (en proceso de armado, se las debo . . .)

Versor (vector unitario)

El versor o vector unitario es un vector cuyo módulo es 1. 

Una base ortogonal de los vectores del plano es una vector ortogonales unitarios. i es el versor de dirección horizontal (eje x) mientras que j es de dirección vertical (eje y). El vector k representa la tercera dimensión (eje z).

Así si R = (2, 3, 5)  puede escribirse como 

R = 2 i + 3 j + 5 k.

Este tipo de notación es muy utilizada en física.   


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