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El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicando por cualquier polinomio no lo altera. Por tanto, es el elemento neutro del producto. No existe polinomio inverso de otro, es decir, en el conjunto de los polinomios con una indeterminada no hay elemento inverso. La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera que sean los polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que: P(x) · [Q(x) + R(x)] = P(x) · Q(x) + P(x) · R(x) División de polinomios : Dados dos polinomios P(x) (llamado dividendo) y Q(x) (llamado divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y Q(x) ¹ 0 siempre hallaremos dos polinomios C(x) (llamado cociente) y R(x) (llamado resto) tal que: P(x) = Q(x) . C(x) + R(x)El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P y Q, mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q. Para obtener los polinomios cociente y resto a partir de los polinomios dividendo y divisor se procede como en el ejemplo siguiente, con P(x) = 5x3 + 7x2 – 3 y Q(x) = x2 + 2x – 1:
El cociente es C(x) = 5x – 3, y el resto, R(x) = 11x – 6. La descripción del proceso es la siguiente: El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del numerador por el del denominador: 5x3: x2 = 5x Se multiplica 5x por el divisor y el resultado se resta del dividendo. Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta fuera el dividendo. El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor. Cuando el resto de la división es cero, entonces se dice que la división es exacta y que el dividendo, P(x), es múltiplo del divisor, o bien que P(x) es divisible por Q(x) y se cumple la relación: P(x) = Q(x) · C(x) Teorema Del Resto: El resto de una división de un polinomio en "x" por un binomio de forma (x + a) es el valor numérico del polinomio dividendo para "x" igual al opuesto de "a".R = P( - a ). Por ejemplo, si P(x) = 3x4 - 5x2 + 3x – 20 para x = 2 se obtiene: P(2) = 3. 24 – 5. 22 + 3. 2 – 20 = 14 Factorización de un Polinomio: (Técnica de Gauss) Se dice que un número a es raíz de un polinomio P(x) si P(a) = 0, es decir, si el valor numérico del polinomio para x = a es cero. Se suele decir, también, que el polinomio P(x) se anula para x = a.Por el teorema del resto, si a es una raíz del polinomio P(x), entonces P(x) es divisible por x – a, pues el resto de dividir P(x) entre x - a es cero. A cada uno de esos valores se los suele designar x1 , x2, x3, etc P(x) = a0 xn + a1 xn – 1 + . . . + a n P(x) = a0 (x – x1) (x – x2) . . . (x – xn) (Polinomio factoreado). Habitualmente, para reconocer las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene en cuenta que éstas han de ser divisores del término independiente. Así, las raíces enteras del polinomio P(x) = x4 – 6x3 + 9x2 + 4x – 12 están entre los divisores de 12. Por tanto, pueden ser raíces de P(x) los números 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 6,– 6, 12 y – 12. Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando la regla de Ruffini. Para no trabajar de más se aplica el teorema del resto verificando cual de estos valores da como resto cero. P(x) = x4 – 6x3 + 9x2 + 4x – 12 P(1) = 14 – 6.13 + 9.12 + 4.1– 12 = – 4 Puesto que el resto, – 4, es distinto de 0, se concluye que P(x) no es divisible por x – 1, o lo que es lo mismo, 1 no es raíz de P(x). Probando con –1: P(– 1) = (– 1)4 – 6.(– 1)3 + 9.(– 1)2 + 4.(– 1) – 12 = 0 –1 es raíz de P(x), es decir, P(x) es divisible por x + 1:
P(x) = (x + 1)(x3 – 7x2 + 16x – 12) Para hallar más raíces de P(x), se obtienen las raíces de P(x) = x3 – 7x2 + 16x – 12. Se prueba de nuevo con – 1: P(– 1) = (– 1)3 – 7(– 1)2 + 16(– 1) – 12 = – 36 – 1 no es raíz de P1(x). Probando con 2: P(2) = (2)3 – 7(2)2 + 16(2) – 12 = 0 2 es raíz de P1(x) y, por tanto, de P(x): P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 – 5x + 6) Apliquemos cuadrática
P(x) = (x + 1)(x – 2) (x – 2) (x – 3) 2 es nuevamente raíz de P(x). Es una raíz doble. Ahora ya se ha conseguido la factorización completa de P(x): P(x) = (x + 1)(x – 2)2 (x – 3) En caso de una ecuación polinómica, lo conveniente es: igualar a cero, factorizar para hallar los resultados buscados de x.
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