Matemática: Análisis Matemático - Álgebra

Autora: Silvia Sokolovsky

La matemática es una ciencia que ya ha cumplido 2000 años de edad, y aunque actualmente está estructurada y organizada, esta operación llevó muchísimo tiempo.

La matemática es como un juego, y para entender un juego hay que conocer las reglas del mismo. Como es muy antigua, por lo tanto, se ha tenido muchísimo tiempo para armar "las instrucciones de cómo jugarla". Si existen reglas, es lógico pensar que existen elementos, cosas, que obedecen esos mandatos. Dichos elementos se conocen con el nombre de conceptos primitivos, conceptos que no podemos decir qué son, sino qué se hace con ellos. 

La matemática puede describirse como una construcción edilicia cuyos cimientos están representados por axiomas, afirmaciones que aceptamos sin discusión. Por ejemplo, el punto y la recta son conceptos primitivos, indicando que "por un punto pasan infinitas rectas" estamos enunciando un axioma. En base a los axiomas se pueden "construir" propiedades, a las que denominamos teoremas, afirmaciones cuya validez puede probarse, deducirse lógicamente. De estas propiedades se deducen otras, y así sucesivamente hasta quedar armada una intrincada red.

De la misma manera que no se puede entender una película a la que empezamos a ver por la mitad, no podemos entender (apreciar ni disfrutar) del poder de las matemáticas. Así que comencemos por lo básico.

Los conjuntos son conceptos primitivos, podemos imaginar lo que son; una totalidad, una reunión de cosas. ¿Qué hacemos con ellos?

Comencemos por conocer la reglamentación básica: a todo conjunto se le da un nombre que siempre es una letra mayúscula. Los elementos que lo forman se representan mediante letras minúsculas. Podemos dibujarlo o escribirlo. Para dibujarlo utilizamos una línea cerrada, que llamamos diagrama de Venn. Para escribirlo empleamos un par de llaves "{" entre las cuales indicamos los elementos que pertenecen al conjunto separándolos, uno de otro, con ";".

Hasta este momento sólo hemos nombrado los elementos que componen al conjunto, lo hemos definido por extensión. Pero podemos indicar "la característica" de esos elementos, buscar en dos o tres palabras, como máximo, lo que distingue a ese conjunto de elementos, de esa manera estamos definiendo al conjunto por comprensión.

Pongamos un ejemplo:

Si definimos por extensión escribimos: A = {a; e; i; o; u}

Por comprensión se escribe: A = {x/x es una letra vocal }

Este conjunto está compuesto por letras, cada una de éstas tienen una característica en común, cada elemento es una vocal. Es importante distinguir que como nos referimos a cada elemento que compone el conjunto, hablamos en singular. Conviene, entonces, utilizar una letra a manera de "nombre" para no tener que estar indicando (escribiendo a cada momento) "que el elemento del conjunto es..." Utilizamos una letra para que represente a cualquier tipo de elemento, esa letra siempre es la "x". Al escribir " x/x " (se lee x tal que x) indicamos lo que es x, lo que es "cada" elemento que compone al conjunto.

Demos otros ejemplos:

B = {x/x es una nota musical } 

B = {do; re; mi; fa; sol; la; si}

C = {x/x es un número de una sola cifra} 

C = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Intuitivamente podemos darnos cuenta que dos conjuntos no tienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo, el conjunto A = {x/x es una vocal} está compuesto por cinco elementos mientras que el conjunto B = {x/x es una nota musical} está compuesto por siete.

Estamos listos para definir una nueva propiedad matemática para los conjuntos, el cardinal. Así pues, el cardinal es el número que determina el tamaño del conjunto, la cantidad de elementos que contiene.

Aclaremos que cuando se indica que cierta propiedad "determina", se está diciendo que existe y es única.

Volviendo al cardinal, hay varias formas de representar esta propiedad. Algunos autores suelen asignarle un símbolo (#), otros encierran al número entre barras. De esta manera el conjunto D = {x/x es un mes del año} tiene por cardinal a 12 y se lo puede designar: #12 ó |12|.

Conjunto vacío: Si el conjunto no tuviera elementos, se lo denomina vacío, y se lo designa con el símbolo Æ ó {}. En este caso su cardinal es cero .

Conjunto infinito: Cuando no podemos indicar la cantidad de elementos que compone a un conjunto, por que son tantos que no existe un cardinal que pueda determinar su tamaño, decimos que el conjunto es infinito.

Infinito, cuyo símbolo es ¥, no es un número, indica que el conjunto crece o decrece sin final. Por ejemplo, el conjunto de las estrellas que vemos en el cielo es infinito, así mismo los siguientes conjuntos que trataremos, los conjuntos numéricos, también lo son.

Volveremos al tema del "infinito" más adelante...

Cuando un niño descubre a los números se maravilla, se sorprende. Los números parecieran ser elementos mágicos por que le permiten conocer cuantos caramelos puede comer; comparar y decidir si tiene más o menos bolitas que su amiguito, etc. Esa misma fascinación pudo haberla sentido el hombre primitivo al aprender a contar; justamente, los primeros números que naturalmente aprendemos son los números naturales como el 1, el 2, el 3, el 4, el 10, el 23, el 120, etc.

Los números naturales forman un conjunto, el conjunto de los números naturales que se representa con la letra N.

Conjuntamente con el descubrimiento del número, incluso sin darnos cuenta, empezamos a sumar. Hasta parece tonto aclarar que si se suman dos números naturales obtenemos otro número natural  "N + N = N" , pero en matemática lo obvio hay que dejarlo bien claro.

De la suma surge, por contraposición, la resta y a partir de ella nos encontramos con un pequeño problema: al restar dos números naturales no siempre obtendremos otro natural.

Pongamos un ejemplo: 2 – 5 = – 3 (el resultado no es natural)

Evidentemente se necesita un nuevo conjunto de números, los números negativos, para poder solucionar este tipo de operaciones. Aquí nos encontramos con números positivos y negativos, pero todos ellos enteros; nos hemos topado, por lo tanto, con un nuevo conjunto, el conjunto de los números enteros y ellos se representan mediante la letra "Z".

Aunque parezca redundante, el sumar o restar números enteros nos da como resultado otro número entero.

Z + Z = Z                                    Z – Z = Z

Si sumamos "5 + 5 + 5 + 5" estamos sumando cuatro veces cinco, lo podemos indicar como: 4.5 en ambos casos el resultado es el mismo, 20.

"La suma da origen a otra operación matemática, la multiplicación".

Vimos como de la suma surge, como contraposición, la resta y con ella los números negativos. De esa misma manera de la multiplicación emerge la división, el resultado de esta operación expresada como fracción se denomina razón, por lo tanto, todo número obtenido de este modo lo llamaremos racional (Q) Y los números racionales también forman un conjunto, el conjunto de los números racionales.

Todas las fracciones son divisiones de números enteros cuyos resultados son decimales periódicos. Ojo está mal dicho números fraccionarios o quebrados, los números se denominan racionales.

Si el decimal no es periódico, entonces, no puede obtenerse mediante la división de dos números enteros, por lo tanto, ese número se lo llamará número irracional. Todos ellos forman el conjunto de los números irracionales.

El prestigioso p es un irracional muy conocido, pero también lo son etc.

A todos estos números que hemos visto hasta ahora se los denomina números reales; al conjunto de los números reales se lo representa con la letra "R".

Cuando hablamos de un elemento, decimos que este pertenece a un conjunto. Cuando un conjunto tiene todos los elementos del otro y más, decimos que el primer conjunto está incluido.

Cuando un conjunto está incluido en otro más grande se lo denomina subconjunto. Por ejemplo N (naturales) es un subconjunto de Z (enteros).

El signo de pertenencia es "Î", por ejemplo: 2 Î N ( 2 pertenece al conjunto de los naturales)

El signo de inclusión es " Ì ", por ejemplo: N Ì R ( los naturales están incluidos en los reales)

Suele ser de gran utilidad representar al número con una letra, así "n" es un número cualquiera, sólo necesitamos indicar a que conjunto pertenece.

Ejemplo: n Î Z ( n pertenece al conjunto de los números enteros, o sea "es" un número entero)

Reemplazar al "número" por una letra nos ayuda a generalizar propiedades. Para que una propiedad sea verdadera debe darse en todos los casos, absolutamente en todos, sin ninguna excepción.

Veamos un ejemplo: "el siguiente de un número entero".

El siguiente de 2 es 3, el siguiente de 7 es 8, el siguiente de 12 es 13 ...

¿Qué se hace para encontrar al siguiente de un número? Sencillamente se le "suma 1"

Así que podemos designar al siguiente de un número entero, al consecutivo de n como:  "n + 1".

De la misma manera "n – 1" representa al número anterior de un entero.

Ahora piensa cuidadosamente tu respuesta.

Entre un entero y su consecutivo, ¿ Cuántos enteros hay ?

El conjunto de los números enteros es infinito pero entre dos números enteros consecutivos no existe ningún número (entero).

Sigamos pensando.

Tomemos dos números enteros consecutivos, Por ejemplo 4 y 5, y busquemos un número real entre ellos.

4 ...... 5 (podemos tomar 4,5 que está entre 4 y 5)

4 .... 4,5 ..... 5

Ahora busquemos un número intermedio entre 4 y 4,5

4 ...... 4,5 (podemos tomar 4,3 que está entre 4 y 4,5)

4 ...... 4,3 ..... 4,5

Ahora busquemos un número intermedio entre 4 y 4,3

4 ........4,3 (podemos tomar 4,1 que está entre 4 y 4,3)

4 ........ 4,1 ....... 4,3

Ahora busquemos un número intermedio entre 4 y 4,1

4 ......... 4,1 (podemos tomar 4,08 que está entre 4 y 4,1)

4 ......... 4,08 ....... 4,1

Podemos seguir así eternamente.

Siempre podremos poner otro número por que entre dos números reales hay infinitos números.

Razonemos...

¿ Cuántos números hay en el conjunto de los enteros?, infinitos. ¿Cuantos números hay en el conjunto de los reales?, infinitos. Pero el conjunto de los números enteros (Z) está incluido en el conjunto de los números reales, entonces (R)

¿ Existirán infinitos más grandes que otros ?!!!!

Entonces cabe preguntarnos, ¿qué quiere decir infinito ?.

Como ya se dijo, "infinito" no es un número, es una tendencia, indica que sigue creciendo o que sigue achicándose eternamente, sin fin.

Tenemos dos nociones para infinito.

a) El que crece indefinidamente, por ejemplo, contar las estrellas que hay en el cielo.

b) El que disminuye por siempre; podríamos ejemplificarlo con un extraño sueño en el cual quieres tocar una pared, te acercas, te das cuenta de que estás más cerca, pero nunca llegas, se lo denomina infinitécimo.

El conjunto de los números enteros es infinito

El conjunto de los números reales es infinito en ambas direcciones, positivos y negativos, además también crece infinitécimamente (por que entre dos números reales hay infinitos números también), por eso se lo denomina conjunto denso.

Otro conjunto denso es la recta, ya que entre dos puntos cualesquiera existen infinitos puntos y crece indefinidamente en ambos sentidos (depende de la dirección que la pongamos). Por lo tanto, la recta y los números reales son equivalentes.

Ya vimos que uno de los conceptos fundamentales de la matemática es el número, junto al concepto de conjunto nos permitirá desarrollar el tema de esta unidad.

Todos los números, positivos y negativos, se llaman racionales si pueden representarse como fracciones (divisiones cuyo resultado es un decimal periódico). Los decimales no periódicos se denominan números irracionales y todos ellos (racionales e irracionales) forman el conjunto de los números reales. Éstos se ordenan, según su magnitud, de menor a mayor.

Tomemos dos números reales cualesquiera a y b, démosle un valor: a = ...... b = ......

En realidad al asignarle un valor a cada uno tenemos sólo tres opciones que a sea mayor que b, que sea menor o que sea igual.

a > b

a = b

a < b

Dados dos números sólo pueden ser iguales o desiguales (mayor o menor). Una alternativa a la vez.

Ya hemos aclarado que los números reales y los puntos de la recta son equivalentes, lo que implica que podemos representar a los números sobres la recta a la que llamaremos eje numérico. Para ello pongamos en claro tres condiciones:

1) Siempre ubiquemos un punto al que llamaremos "origen" asignándole el valor cero..

2) No tenemos que olvidarnos de indicar el sentido positivo con una flecha (el opuesto, se sobreentiende que será negativo ).

3) Pongamos siempre una medida de longitud, una escala, para separar dos enteros consecutivos.

Con estos tres condicionamientos estamos listos para trabajar.

Separemos la recta en unidades de igual longitud cada una, coloquemos cuatro números enteros consecutivos de cada lado (positivos y negativos)

Estuvimos hablando de los números pero no dijimos para que sirven.

Los números son entes abstractos que por sí solos no representan nada. Esa es su mayor virtud, pues podemos asignarle el significado que queramos. Un simple tres , según la ocasión, puede ser una cantidad de dinero, una mala nota, lo que sea ...

Todo lo que podemos medir puede ser representado por un número. Todo lo medible se llamará, entonces, magnitud. 

Si bien las magnitudes pueden dividirse en dos subgrupos: magnitudes vectoriales y escalares, por ahora nos ocuparemos de las últimas, las que pueden subdividirse en magnitudes constantes o absolutas (cuyo valor numérico no varía, como el número p) y las magnitudes variables (que pueden tomar diversos valores, representadas generalmente por las letras "x" e "y").

Según el problema que se considere , el conjunto de estos valores puede ser diferente. Por ejemplo, la temperatura del agua líquida varía desde 0 ºC hasta 100 ºC (aunque no podemos tomar los valores extremos dentro de ese conjunto); mientras que el alcohol común se mantiene líquido entre los 0º C y los 80 ºC aproximadamente (excluyendo los extremos del conjunto).

Estos conjuntos, subconjuntos del conjunto de los números reales, se denominan intervalos. Los intervalos pueden ser abiertos, si sus extremos no pertenecen al conjunto ( como las temperaturas antes descriptas), o intervalos cerrados , cuando sí pertenecen.

Tomemos un intervalo cualquiera, el que se encuentra entre los números 3 y 5, por ejemplo. Escribiremos como [3,5] al intervalo cerrado, (siempre comenzando desde el más pequeño) y como (3,5) al intervalo abierto. Por supuesto que tenemos los intervalos donde un extremo pertenece al intervalo y el otro no, lo llamaremos intervalo semiabierto ó intervalo semicerrado. ¿ Cómo te parece que se escribirá este tipo de intervalo ? (los dos casos posibles)

Los intervalos pueden representarse sobre la recta numérica. Pongamos un ejemplo: (-4 , 3 ]

_____________( -4________________0________________3]____

Como ya se dijo, suele ser de gran utilidad representar al número con una letra, así "x", magnitud variable, nos permite generalizar la noción de número y expresar al intervalo de otra manera. Así, (3,5) puede escribirse como: 3 < x < 5, donde x puede tomar cualquier valor entre 3 y 5.

[3 , 5] podemos anotarlos como: 3 < x < 5

Volvamos con las operaciones . . .

Raíz Cuadrada

Ya hablamos de la suma, la resta, la multiplicación y la división. Luego le tocó el turno a la potencia y ahora es tiempo de desarrollar a su alterego, la radicación.

Aunque no sea necesario, (en mi extrema inocencia presupongo que ya lo sabes) definámosla.

Sea a , b y c números reales , entonces:

De ella, en estos momentos, sólo nos detendremos en la raíz cuadrada.

La raíz cuadrada es la inversa de la potencia al cuadrado. No es nada nuevo. Tampoco lo es el hecho que todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor positivo.

Si elevamos al cuadrado una raíz cuadrada ¿Qué sucede ? En realidad, la respuesta no es tan sencilla. No es lo mismo elevar un número negativo al cuadrado y luego sacarle la raíz que a la inversa.

Si tenemos nos encontramos con un gran problema.

¿Por qué no podemos resolver la raíz y luego elevar al cuadrado el resultado ? Sencillamente por que la raíz de un numero negativo no tiene respuesta en el conjunto de los números reales. Tanto (- a)² como a ² tienen resultado positivo (todo número elevado a una potencia par da como resultado un número positivo). Así que no tiene solución (repito, sólo en el conjunto de los reales).

Para facilitar la maniobra transformemos la raíz en potencia, y resolvamos la operación al simplificar las potencias nos queda: (- a )

Así que:

Si tenemos la solución es completamente diferente.

Cuidado, el cuadrado de un número siempre dará un resultado positivo; así que nos encontramos con un acontecimiento completamente diferente al anterior.

Esta igualdad es verdadera pues dentro de la raíz ambos son positivos

¿Cómo expresar que la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo?. Aquí aparece el módulo:

El módulo resuelve el problema del resultado de la raíz, que puede ser tanto positivo como negativo. El valor del módulo siempre es mayor que cero, siempre es positivo.

Ejemplo:

El resultado de la raíz puede ser negativo: |- 3| = 3 (al aplicarle el módulo el resultado es positivo).

No existe un módulo que sea negativo, el resultado siempre es positivo.

Ejemplo: |3| = - 3 no existe.

El módulo tiene resultado positivo.

Dentro del módulo el número puede ser positivo o negativo

Ejemplo: |- 5| = | 5| = 5

Si tenemos ecuaciones con módulo debemos tener en cuenta que la x puede tener ambos signos dentro del módulo pero el resultado será siempre positivo: |x| > 0, |- x| > 0

Ahora si sacamos el módulo, debemos calcular el valor de x teniendo en cuenta ambos signos: | x| = 3 , al sacar el módulo tenemos x = 3 ó – x = 3 Þ x = – 3 .

Aquí hemos planteado una ecuación con una incógnita. La igualdad sólo nos permite que el resultado sean dos números. Si relacionamos al módulo con una inecuación el resultado será un intervalo.

Observemos el siguiente ejemplo: |x| < 3, al sacar el módulo tenemos x < 3 ó – x < 3 , no nos conviene la "x" negativa, así que intercambiemos los – 3 < x (observa que si la dejamos del mismo lado debe invertirse el sentido del símbolo quedando: – 3 < x. ® x > - 3.)

Representemos x < 3 y x > – 3 en una recta numérica.

___________________(–3                    0                   3)_______________________

Vemos que la solución de |x| <3 es (– 3; 3)

Intervalo de una cuadrática

x² + 5 x – 6 > 0   (factorizamos)

(x – 1) (x + 6)  > 0    (el hecho de ser mayor de cero nos indica que buscamos  resultados positivos en una multiplicación. Tenemos dos opciones, ambos son positivos o negativos).

Si ambos son positivos:

(x – 1) > 0 ® x  > 1

(x + 6)  > 0 ® x  > – 6

Si x es mayor que 1, evidentemente es mayor que – 6, por lo que nos quedamos con el primer resultado. Los valores de x van desde 1 a infinito. (1, + ¥)

Si ambos son negativos:

(x – 1) < 0 ® x  < 1

(x + 6)  < 0 ® x  < – 6

Si x es menor que – 6, evidentemente es menor que 1, por lo que nos quedamos con el segundo resultado. Los valores de x van desde menos infinito hasta – 6. (- ¥, - 6)

El resultado de esta inecuación serán ambos resultados: (- ¥, - 6) È (1, + ¥)