Aprender y enseñar matemática no es fácil. Lo sabe el frustrado alumno que se enfrenta, calculadora en mano, al despiadado ejercicio que no le sale; y lo sabe el profesor, cuya frustración crece exponencialmente, al ver que su alumno se estrella una y otra vez, con la misma dificultad sin poder superarla.

Este es una problemática que no reconoce países, idiomas o fronteras...

¿Cómo superarlo?

Pregunta que no tendrá respuesta si de tu parte no hay dedición de trabajar. Soy profesora y no hago milagros. Si mentalmente te predispones a no entender, has perdido la pelea antes de comenzar.

Es un largo camino el que se debe transitar, parecido a una escalera ascendente, en la que no podemos saltar ningún escalón.

No hay recetas mágicas, sino mucho trabajo.

Grupos (Grupo Abeliano)

Autora: Silvia Sokolovsky

Es recomendable que se maneje bien el concepto de conjuntos, así que primero lean Conjuntos

Un conjunto es una “reunión” de objetos a los que llamamos elementos. Esos elementos pueden ser cualquier cosa, números, letras… etc. Por supuesto que estos objetos pueden relacionarse entre sí, y esa manera de relacionarse es lo que llamamos “operación”.

Si los elementos del conjunto son números, las operaciones básicas que podemos hallar son la suma, resta, multiplicación y división.

Entonces, tenemos por un lado a un conjunto, al que nombramos con una letra mayúscula, y por el otro una operación, que relaciona los elementos que pertenecen a ese conjunto, y ambos los expresamos como un par ordenado: (A, *).

Como la operación puede ser cualquiera, la designamos con un símbolo distinto a las operaciones básicas, sencillamente para evitar confusiones.

(A, *) es una estructura algebraica (que es un conjunto asociado a una operación) que si cumple determinadas propiedades se denominará grupo.

¿Qué propiedades debe cumplir (A, *) para ser grupo?

Ellas son:

1. Ley de composición interna
2. Asociatividad (asociativa)
3. Elemento neutro
4. Elemento simétrico (inverso)

Ley de composición interna. (LCI)

Componer es un sinónimo de operar, así que estamos hablando de operar dos o más elementos de un conjunto.

Al sumar dos números naturales, por ejemplo, 3 + 7 obtenemos otro número (en este caso también natural) 10. El resultado pertenece al mismo conjunto que los números operados. Pero no siempre pasa lo mismo, si efectuamos la resta de estos números: 3 – 7 el resultado no pertenece al conjunto de los números naturales (ver video si no conoces los conjuntos numéricos). Así que al operar con dos (o más) elementos de un conjunto tenemos dos posibilidades, que el resultado pertenezca o no al mismo conjunto. Esa característica determina la ley de composición interna (la que de ahora en adelante escribiré como LCI) la que nos dice:

Ahora traduzcamos lo que aquí dice:

Justamente, lo que indica es que si sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos dos números (cualesquiera), para ser ley de composición interna, el resultado debe (si o si) pertenecer al mismo conjunto que los números operados.

Si sumamos dos números naturales, siempre su resultado será otro número natural, lo que indica que (N, +) es LCI

Lo mismo para con los enteros, (Z, +) también es LCI

¿Que sucede con la resta?

Analicemos lo que sucede en el caso de (N, –).

Tomemos dos números, restémoslos: 7 – 5 como el resultado nos da 2 que es un número natural ¿podemos afirmar que se cumple la LCI? Aún no, tomemos otro ejemplo: 12 – 8 nos da 4 que también es un número natural ¿Podemos ahora afirmar que se cumple la LCI? La verdad es que no podemos.

Estamos tomando ejemplos, pero los ejemplos equivocados... ese es el problema cuando necesitamos probar "algo" podemos equivocarnos al tomar solamente ejemplo, ya que estos puede cumplir la propiedad, pero ¿qué sucede si los invertimos?

5 – 7 y 8 – 12 no dan como resultado un número natural, sino un entero negativo.

Cuando ponemos un ejemplo que no cumple la regla o propiedad estamos haciendo un contraejemplo.

Así que nos basta con determinar que 5 – 7 = – 2 para afirmar que (N, –), no es LCI.

Es más difícil demostrar que se cumple una propiedad  ya que los ejemplos no bastan y hay que demostrarlo para todos los elementos, es por eso que en vez de utilizar ejemplos, números, se utilizan símbolos, o sea letras.

Cuando escribimos: 

Como las letras a y b representan a cualquier número natural, están representando a todos los números naturales. Sabiendo leer (ya que algebra, como matemática, tiene su propio lenguaje al que hay que aprender a leer) diremos: Para todo a que pertenezca a los naturales y para todo b que pertenezca a los naturales, se verifica que a + b también pertenece a los naturales.

Ahora traduzcamos al castellano (español) lo que dice: Tomando dos números naturales, la suma de ellos también es natural.

Hasta ahora hemos utilizado conjuntos infinitos, pero no es necesario. Podemos utilizar pequeños conjuntos definidos por extensión.  E = { e , f , d, n }

Otra manera de expresar la operación entre elementos de un conjunto es con un cuadro de doble entrada, como el que aparece a continuación.

Las letras en verde corresponden al resultado. Pero ¿cómo lo leemos?

Así como la batalla naval, podemos comenzar por la línea horizontal y luego la vertical. Por ejemplo f * d (línea violeta) la intersección de ambas columnas nos indicará el resultado.  f * d = d

Dentro del cuadro no aparece ninguna letra que no esté en el conjunto E, por lo tanto cumple con la LCI.

Propiedad Asociativa

La palabra asociar es sinónimo de unir, juntar, relacionar... y lo que debemos asociar aquí son tres (o más) elementos en distinto orden para ver si el resultado final es el mismo. En ese caso, se cumplirá la propiedad asociativa.

Para dar prioridad a una operación, o sea, cual efectuamos primero, la encerramos entre paréntesis.

Utilizaremos el conjunto E y la operación * que acabamos de desarrollar en el ítem anterior.

Analizaremos, pues, la asociatividad de (E, *) pero debemos analizar todos los casos posibles, salvo que nos encontremos con que no lo cumple. Aquí te dejo de ejemplo dos, si bien son muchas variaciones que encontramos, cuando las resuelvas todas (practicar es la mejor manera de aprender) verás que la propiedad asociativa se cumple.

Elemento neutro

Como su nombre lo indica, el hecho de ser neutro implica que como resultado quedará el otro elemento.

Escribimos e * a = a * e = a  Donde a representa cualquier elemento que pertenece al conjunto (distinto al neutro, por supuesto).

Si bien el elemento neutro se suele simbolizar con la letra e, en el cuadro de (E, *) e no es elemento neutro ya que no queda como resultado el otro. Busquemos una letra que en su columna (o fila) se repitan las letras con las que está operando.

Vemos que la fila y la columna de f repite cada uno de los elementos con que se opera, por lo tanto el elemento neutro es f.

Elemento simétrico u inverso

Cada elemento del conjunto debe tener una imagen que al operarlo de como resultado el elemento neutro. Si a representa al elemento, su simétrico puede escribirse como a' o como a^{– 1}que es la firma de indicar un inverso (multiplicativo).

Así indicamos que si para toda a que pertenezca a un conjunto, existe una a' talque a * a' = a' * a = e, entonces existe elemento simétrico en la estructura algebraica que analizamos.

En el cuadro de (E,* ) que estamos analizando nos fijamos cuales pares nos dan como resultado f.

f * f = f ,   d * d = f   y   n * n = f  Así podemos decir que d es el simétrico de d (de sí mismo), lo mismo ocurre con f y con n, pero no se da en ninguna parte que e * (con algo) = f. Noten que, tanto en la columna como en la fila, nunca aparece f. Podemos afirmar que e no posee simétrico, y baste que un elemento carezca de simétrico para asegurar que (E, *) no cumple con la propiedad.

Tenemos que (E, *) es LCI, es asociativa, tiene elemento neutro pero carece de elemento simétrico, por lo tanto no es grupo. Tiene que cumplir con las cuatro propiedades.

Ahora probemos con otro tipo de ejercicio:

Analicemos la ley a * b = 2a + b en Z (enteros)

Bien, primero traduzcamos que está pidiendo. Las letras a y b representan cualquier número entero y estos números se están sumando, pero a, a su vez, se está multiplicando con 2. Así que * está utilizando dos estructuras algebraicas distintas (Z, +) y (Z, .). Ahora, tanto (Z, +) como (Z, .) cumplen con la LCI, así que podemos afirmar que a * b también lo cumple.

Ahora le toca a la asociativa.

Necesitamos otro número entero más, que será c. Este elemento deberá operarse con b, de manera que:

Al no cumplir con esta propiedad, ya no es grupo.

Veamos si posee elemento neutro:

Al no haber elemento neutro, no hay simétrico.

Grupo abeliano

Para que una estructura algebraica sea grupo abeliano, además de las cuatro propiedades que ya hemos analizado, debe cumplir una quinta, que es la propiedad conmutativa. Esta nos indica que si operamos dos elementos de un mismo conjunto, no importa el orden en que lo pongamos, el resultado debe ser el mismo.

Si analizamos la estructura algebraica (E,* ) resolviendo todas las operaciones desarrolladas podemos observar que la propiedad conmutativa se cumple.

e * e = n e * f = f * e = e  e * d = d * e = n  e * n = n * e = n

f * e = e * f = e f * f = f           f * d = d * f = d       f * n = n * f = d

d * e = n d * f = f * d = e   d * d =    d * n = n * d = n

n * e = e* n = n n * f = f * e = n n * d = d * e = d n * n = f

Pero hay una simple manera de darnos cuenta. Si tomamos la línea central que tiene el como extremo superior a la operación estrellita (línea pintada de amarillo) observemos que ambos costados parecen imágenes especulares (como si la línea amarilla fuera un espejo). Para verlo mejor cada línea la dibujé con igual color pues tiene loas mismas letras. Cuando un cuadro presenta esta estructura (como ti tuviera un eje de simetría) podemos estar seguros que la estructura algebraica cumple la propiedad conmutativa. Pero es una trampita, no sirve para probar que es conmutativa... ojo.

Resumiendo para que sea grupo, la estructura algebraica que analizamos debe cumplir cuatro propiedades: LCI, asociatividad, elemento neutro y simétrico. Si además cumple la propiedad conmutativa, estamos frente a un grupo abeliano.

Fuente: http://www.saber.ula.ve/handle/123456789/15913