Soy una profesora de Biología, Física y Matemática que ha decidido compartir algunos de sus conocimientos. En este sitio encontrarás material teórico, ejercicios resueltos y explicados escritos por mi y otros docentes.

CÁLCULO COMBINATORIO

Autor: Gerardo Palumbo

La combinatoria (no confundir con combinación) tiene por fin estudiar las distintas agrupaciones  de  los  objetos, prescindiendo  de  la  naturaleza  de  los  mismos pero no del orden. Estudiaremos como se combinan los objetos, cálculo que nos determinará la cantidad de grupos que se podrán formar con los datos dados. Por lo tanto para distinguir entre sí los elementos de cada conjunto considerado, los designaremos con letras o con otra notación que evite confundir unos con otros.

Antes de comenzar con esto veamos una función importante en matemática:

 Función factorial

Se denomina función factorial y se la designa como “!” a una función f : N₀ ® N definida por:

f(0) = 1

f(1) = 1

f(n +1) = (n +1) f(n)

Simbólicamente , para indicar f(n) escribimos simplemente n! y se lee "n factorial"

0! = 1

1! = 1

(n + 1)! = (n + 1) n!

La función factorial se calcula como el producto de todos los números (en forma decreciente) desde ese número hasta el uno. Así tenemos que:

5! = 5.4.3.2.1   entonces   5! = 120

10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1   entonces   10! = 3628800

El factorial de un número se puede también calcular como ese número por el factorial del número anterior (n + 1)! = (n + 1) . n! .

Así tendremos: 7! = 7. 6!

Retomemos de nuevo el cálculo combinatorio.  Supondremos que los elementos que intervienen no se repiten, constituyendo esta suposición el estudio de la combinatoria simple.  Si bien los problemas de la combinatoria son infinitos, nos ocuparemos de los tres fundamentales: a) Variaciones  b) Permutaciones  c) Combinaciones.

 a)      Variaciones.

Variaciones sin Repetición:

Supongamos que disponemos de tres casillas y de cuatro letras a, b, c, d y que nos plantean el siguiente problema: ¿de cuántas maneras distintas podemos llenar las casillas con dichas letras si no se permite repetir las mismas y todas las casillas deben quedar llenas?

En el espacio que queda indica todas las posibilidades que hay.

Definición: Dado un conjunto finito de “m” elementos, agrupados de a “n” elementos, llamamos variación simple a todo sub – conjunto ordenado formado por “n” objetos cualesquiera (n £ m) elegidos entre ellos , conviniendo en considerar como distintas dos variaciones cuando: difieren en algún elemento ó si tienen los mismos elementos entonces están en distinto orden.

Esto significa que para las variaciones el grupo “a, b, c” y el grupo “a, c, b” son distintos ya que tienen los mismos elementos pero están en distinto orden.

La fórmula que permite calcular las variaciones de “m” elementos agrupados de a “n” elementos es:

Ejemplo: se tienen tres números los que se agrupan de a dos ¿cuántas variaciones podremos tener?.

Supongamos que tenemos 1, 2, 3.