Ondas Mecánicas

Autora: Silvia Sokolovsky

La materia y la energía están íntimamente relacionadas. La primera está representada por partículas y la segunda por "ondas", aunque hoy en día esa separación no está tan clara. En el mundo subatómico "algo" puede comportarse como partícula u onda según la experiencia que se esté haciendo. Por ejemplo, la electricidad está constituida por electrones y estos presentan este doble comportamiento.

Las ondas:

Comencemos imaginando un estanque cuya agua está quieta, tiremos una piedra, pronto, pero no instantáneamente, se formarán olas. Esas "olas" en realidad son ondas que se propagan desde el centro donde la piedra, al caer, ha producido una perturbación en las moléculas sobre las que ha caído haciéndolas vibrar, transmitiendo éstas la vibración a sus moléculas vecinas y así sucesivamente. Esa perturbación se transmite en todos los sentidos y adopta una forma circular.

Todas las películas de ciencia ficción donde se escucha un ruido ensordecedor en el espacio (sea el motor de una nave o una explosión...) están completamente equivocadas.

Las ondas sonoras se propagan de manera tridimensional, por lo que no deberíamos hablar de circunferencias sino de esferas. Las ondas representarían la superficie de estas esferas que irían aumentando de radio a medida que se alejan de la fuente que las crea. Así que realmente hablamos de superficies de ondas.

Un rumor se propaga sin que ninguna persona de las que toman parte para difundirlo haga el viaje para tal fin. Tenemos aquí dos movimientos diferentes, el del rumor y el de las personas en difundirlo.

Veamos otro ejemplo: el viento que pasa sobre un campo de trigo determina un movimiento en forma de onda que se difunde a lo largo de toda la extensión. Sin embargo el único movimiento que hacen las plantas es de vaivén. Encontramos nuevamente dos movimientos, el de la propagación de la onda y el movimiento de cada una de las espigas.

Nótese hay una diferencia entre el movimiento de las moléculas de agua en el estanque y las moléculas del aire. Las moléculas de agua se mueven transversalmente al movimiento de la "ola" mientras que las del aire se mueven en la misma dirección, o sea longitudinalmente.

La onda consta de dos movimientos: uno es la vibración de las partículas y otro es la propagación de la onda en sí.

Si el movimiento de cada partícula es " de arriba hacia abajo y viceversa" la onda se llama transversal.. Si la partícula se mueve en la misma dirección de propagación moviéndose atrás y adelante, la onda recibe el nombre de longitudinal.

El sonido es una onda longitudinal mientras que la luz y cualquier onda electromagnética es transversal. Si hacemos ondas con una soga nos dará ondas transversales mientras que un resorte puede transportar ambos tipos de ondas.

Si colocamos un par de ejes cartesianos, observaremos que existen valores máximos ( eje y +) y mínimos ( eje y -). Cada uno de estos valores recibe el nombre de amplitud, mientras que a los intermedios se los denomina elongación. Podemos observar en la gráfica que la trayectoria que obtuvimos puede interpretarse matemáticamente como una función periódica, ya que se repite.
Si seguimos nuestro análisis encontraremos que existen funciones matemáticas que responden a esta gráfica, las funciones trigonométricas seno y coseno por ejemplo. Si la gráfica comienza en el punto (0;0) la función que utilizaremos será la función seno (sen) ; pero si vemos que la gráfica comienza por el punto (0;1) entonces utilizamos la función coseno (Cos).
Hay otra particularidad que debemos hacer notar, la distancia entre dos máximos ó dos mínimos son siempre los mismos, por lo que esa distancia recibe el nombre de "longitud de onda" (l). cada onda posee su longitud de onda característica y si esta se mantiene constante a la onda se la denomina onda armónica. Cada una de este tipo de onda tiene su l característica que puede medirse en kilómetros, metros, centímetros, nanómetros (10-9m), amstrongs (10-10 m) etc.

volveremos más tarde sobre este tema.

Argumento de las funciones trigonométricas:

Cuando nos fijamos en las funciones trigonométricas, inmediatamente preguntamos ¿de qué ángulo?... He aquí vuestra primera sorpresa: ¡Hay ángulos en las ondas!

Si, las cosas empiezan a complicarse.

Para poder relacionar las ondas y las funciones trigonométricas debemos conocer dos cosas, las ondas están relacionadas con el movimiento circular uniforme (ese que gira a velocidad constante) y que ese movimiento (que forma ángulos de 360º o 2π) incluye a las funciones trigonométricas en su estudio.

Podemos expresar el movimiento vibratorio como un movimiento circular. Analicemos una trayectoria circular dentro de un eje de coordenadas, indicando con x_o al punto donde comienza nuestro viaje imaginario. Nos movemos con velocidad constante, es el movimiento más simple y para nuestro propósito basta y sobra.

La ecuación de este movimiento será  x = x_o  + v t
x → posición en función del tiempo
x_o → posición inicial
v → velocidad
t → instante.

El espacio recorrido (∆x) está representado por un arco de circunferencia. Este arco determina un ángulo medido en radianes (ver MCU) cada posición puede llevarse sobre un eje describiendo una función seno.

Las diversas posiciones del cuerpo en movimiento circular uniforme puede expresarse en función del tiempo, o sea el instante en que el cuerpo se encuentra en determinada posición. El cuerpo en realidad vibra y las distintas posiciones que encontramos a cada instante las denominamos elongaciones, amplitudes en el caso de elongaciones máximas o mínimas. Ese movimiento vibratorio tiene, por lo tanto una ecuación en la que está presente la amplitud y el seno del ángulo que forma: x = A. sen α.

Necesitamos ahora la ayuda de la velocidad en un MCU su fórmula es : (1)

"2πr" es el perímetro de la circunferencia, representa lo que se recorre al dar una vuelta.

T es el tiempo que se tarda en dar una vuelta a la circunferencia y se denomina período. No es "t" sino "T" para diferenciar un instante cualquiera de lo que se tarda en dar una vuelta. El ángulo se expresa en sistema circular (se mide en radianes).

Sabemos que . → ∆x = α . r

Este movimiento es uniforme así que la velocidad es constante, por lo tanto: ∆x = v. ∆t (2)  

Si consideramos a t_o = 0 tendremos: ∆x = v. t (3)

De las ecuaciones (1), (2) y (3) tenemos que:; ∆x = v. t ; ∆x = α . r →   

De esa manera la ecuación de la vibración armónica quedaría: ; donde φ es la fase inicial (ángulo que indica cuanto está la onda desplazada (desfasada) del valor de origen)

Por supuesto que donde ω es la velocidad angular (velocidad de giro cuya unidad es seg. – 1 ) ó velocidad de fase, así que la fórmula de elongación puede verse así: x = A. sen (ω t +φ).

Longitud de Onda: (λ) es la distancia en el espacio dentro de la cual la función onda se repite a sí misma, en determinado tiempo. En lenguaje simple, como ya hemos dicho, es la distancia entre dos puntos máximos o mínimos. Pero esta distancia se mantiene igual para cualquier par de puntos que posean la misma elongación en dos crestas sucesivas.

Frecuencia: (f ó v) Número de ciclos (vueltas) por unidad de tiempo. En la gráfica de la ecuación onda esos ciclos se representan por dos crestas, una hacia arriba y otra hacia abajo. Se mide en hertz (Hz) que es lo mismo que Seg.^{– 1} ya que es la inversa del período. "f = 1/ T "

La frecuencia está íntimamente relacionada con la l, cuanto más larga sea l menor será la frecuencia. Ambas son inversamente proporcionales, físicamente implica que si una aumenta al doble la otra se reduce a la mitad. Matemáticamente se multiplican para obtener un valor constante, en este caso "lo constante" es la velocidad.   v = f . λ

Onda armónica: es un tipo especialmente importante de función de onda es la función seno o coseno.

"k" es el número de onda (semejante al valor de k en mate) y "A" es la amplitud.

Puede escribirse también :

Como "k .v = w" a la que denominamos onda armónica.

Producimos ondas, por ejemplo, con un movimiento constante (armónico) simple a velocidad angular (w) en dirección perpendicular a la cuerda.

En este caso y_(x,t) representa el desplazamiento de esa parte de la cuerda en la posición x y en el instante t.

Poseen una propiedad poco corriente que las hace particularmente importantes, "los pulsos de onda varían de forma cuando se propagan", es decir, se dispersan o se esparcen cuando van absorbiendo su energía y movimiento. Sin embargo las ondas armónicas no varían de forma aunque se propaguen en medios elevadamente dispersos. Lo único que le ocurre es que la amplitud (A) puede disminuir al propagarse la onda.

Podemos definir a la longitud de onda (distancia en el espacio dentro del cual la función onda se repite a sí misma en una porción mínima de tiempo) como la distancia que hay entre dos máximos consecutivos.

Sea x₁ una posición de la cresta de onda y x₂ la posición siguiente de manera que . Así pues el argumento de la función onda varía en 2π:

(simplificamos wt quedando)

Sabemos que además v = f  λ Si reemplazamos f y λ tendremos que

Octubre 2002