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Físicamente ese valor constante, la razón entre el espacio
recorrido y el tiempo trascurrido, se denomina velocidad.
x = v . Dt No tiene por que partirse de cero, así que las distintas posiciones pueden determinarse sumando la posición de donde partimos, posición inicial (xo), y lo que se avanza (Δt.v ). Supongamos que partimos de la posición 2, la xo = 2 m, como la velocidad es 2m/seg. sumemos 2 m a la posición anterior:
Es interesante destacar que obtenemos una recta cuya pendiente es la velocidad (2) y la ordenada al origen es la posición inicial (2): matemáticamente la ecuación obtenida es: x = 2Dt + 2. (utilizo las variables indicadas en el gráfico). De esa manera la ecuación del espacio en función del tiempo que a partir de ahora la llamaremos ecuación horaria, la escribiremos: x = xo + v . Δt Magnitudes vectoriales y escalares: Los números son entes abstractos que por sí solos no representan nada. Esa es su mayor virtud, pues podemos asignarle el significado que queramos. Un simple tres, según la ocasión, puede ser una cantidad de dinero, una mala nota, lo que sea ... Todo lo que podemos medir puede ser representado por un número. Todo lo medible se llamará, entonces, magnitud. Y las magnitudes pueden dividirse en dos subgrupos: escalares y vectoriales.
Lo que nos indica la lógica es utilizar el vector para indicar la velocidad de un auto. La velocidad es una magnitud vectorial y su módulo señala su parte escalar, la cantidad que representa. Se indica encerrando al vector entre dos líneas: |v|. El módulo siempre es un valor positivo. Por supuesto que encontramos magnitudes que no pueden ser representadas por un vector, ejemplo: el tiempo. Las variables de las que sólo podemos indicar su cantidad se denominan magnitudes escalares. Para entender mejor su diferencia expliquemos un ejemplo típico: Diferencia entre espacio recorrido y
desplazamiento: Estuvimos hablando de
posiciones (x), espacio (Δx)
El desplazamiento es un vector, el espacio recorrido una magnitud escalar, sólo un número. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V) Aproximándonos un poco más al movimiento en el mundo real, vemos que la velocidad no es la misma durante todo el trayecto. Si bien su módulo cambia, no varía de cualquier manera, sino que depende de una tercer variable, la aceleración. Aceleración: Imaginemos que estamos viajando con una velocidad v y la duplicamos. Su variación será : Δv = 2v – v = v (1). Esta variación nos lleva un determinado tiempo. Ahora bien, supongamos que triplicamos la velocidad, la variación será:
Δv = 3v – v = 2v (2) Si comparamos (1) y (2) vemos que la variación de velocidad se ha duplicado. ¿Qué ha ocurrido con el intervalo de tiempo?. Evidentemente necesitamos mayor cantidad de tiempo, exactamente el doble. Recapitulemos, la variación de la velocidad aumenta al doble y el intervalo de tiempo requerido aumenta en la misma proporción. La explicación es que existe una relación entre ambas variables, son directamente proporcionales. Por lo tanto si las dividimos obtendremos una constante, la razón de proporcionalidad entre ambas es la aceleración. Hay que remarcar que la relación es entre la variación de velocidad y el intervalo de tiempo NO se relaciona con la velocidad.
Siendo la velocidad una magnitud vectorial y el tiempo una magnitud escalar, cualquier operación matemática entre ellos dará como resultado un vector, por lo tanto podemos deducir que la aceleración también es un vector Unidades de la aceleración: Aplicando la definición de aceleración, variación de la velocidad en función del tiempo, analizaremos sus unidades. Podemos medir a la velocidad en m/seg, así que tomaremos la unidad de tiempo en segundos para poder operar matemáticamente sin problemas.
También puede expresarse como
Obtención de la función Primitiva: Para hallar las ecuaciones de movimiento (función primitiva, matemáticamente hablando) puede procederse mediante integrales u obtención del área bajo la curva. Como muchos de ustedes pueden desconocerlos mecanismos del análisis matemático, utilizaremos la segunda opción.
Supongamos que la aceleración es de 2 m/s2 cuando partimos de la posición 1 m. con una velocidad de 1 m/s Recordemos: xo = 1 m y vo = 1 m/s. Si observamos detenidamente la zona que queda determinada entre la gráfica de aceleración y el eje del tiempo, indicado por los sucesivos intervalos de tiempo desde cero (líneas punteadas), vemos tres figuras, es decir tres rectángulos.
Primer Intervalo [0, 1]
Segundo Intervalo [1, 2]
Tercero Intervalo [2, 3]
Área = base. Altura En un rectángulo, cualquier lado puede ser base o altura. Para facilitar cálculos posteriores tomaremos al intervalo de tiempo (t) como altura Þ base = a ; altura = Dt Área = a. Δt La aceleración determina como varía la velocidad y el área debajo de su gráfica indica la velocidad al final de ese intervalo de tiempo: Área = v; de esta manera tenemos: v = a . Δt No olvidemos que al comienzo de este movimiento la velocidad no era nula Þ v = vo + a. Δt (Ecuación 1) (Esta ecuación nos permites calcular la velocidad a cada instante, o sea la velocidad instantánea.) Completemos el siguiente cuadro en base a los datos siguiendo la ecuación 1.
Tomemos los puntos cuyas coordenadas estén determinados por (t; vt) (columnas en color) y llevemos a cada uno a la gráfica de la velocidad. Vemos que la velocidad al variar en función del tiempo nos da una recta. Siempre que una variable dependa de una constante dará una recta en su gráfica. Una vez más tomemos los intervalos de tiempo [0,1]; [0,2] y [0,3]. Debajo de la recta quedan determinados tres trapecios. Nuevamente Δt será la altura, las bases (el trapecio tiene dos) van a ser las velocidades. La vo (velocidad inicial) será la base menor mientras que vt (velocidad instantánea) será la base mayor.
Ya habíamos visto que la velocidad señala cuanto espacio se recorre por unidad de tiempo, por lo tanto al variar la velocidad cambia la cantidad de espacio recorrido por cada intervalo de tiempo de igual duración. así el área debajo de la gráfica de vt indica la posición del cuerpo al final del intervalo horario. Teniendo en cuenta que partimos de la posición 1 m. (xo = 1 m.) tenemos que:
Tomemos los puntos (Δt, x) (columnas en color). Llevándolas a la gráfica del espacio en función del tiempo vemos que se obtiene una curva, una parábola. Siempre que una variable dependa de otra variable obtendremos una curva como gráfica.
(operando matemáticamente)
Esta ecuación, llamada ecuación horaria, es la más frecuentemente utilizada para hallar xt. De la ecuación 1 y de la ecuación 2, por operaciones matemáticas que quedan por tu cuenta, obtenemos una tercera ecuación que facilitará bastante la resolución de problemas: 2. Δx. a = v 2 – vo 2 (Ecuación 3) Utilizando las ecuaciones 1, 2 y 3 puedes resolver cualquier problema de M.R.U.V. Continúa en Caída libre (además, se explica como se realiza un ejercicio)Anexo: Obtención de la ecuaciones mediante integrales: La aceleración es un vector que depende de la variación de la velocidad en función del tiempo. Si el intervalo de tiempo tiende a cero podemos hallar a la aceleración instantánea, para ello apliquemos el concepto de derivada.
Para hallar la ecuación de la velocidad en función del tiempo debemos aplicar integrales definidas, el límite de la integración será: t y to para el tiempo, v y vo para la velocidad.
v = a (t – to) + vo (1) La velocidad es otro vector que depende de la variación del espacio en función del tiempo. Cuando el intervalo tiende a cero obtenemos la velocidad instantánea.
Para hallar la ecuación del espacio en función del tiempo, llamada ecuación horaria, debemos aplicar nuevamente integrales definidas. El límite de la integración será: t y to para el tiempo, x y xo para las distintas posiciones.
Reemplacemos v por la ecuación (1), donde para facilitar la operación matemática supondremos que to = 0.
(Ecuación horaria)
Octubre 2002
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Así que la velocidad en este tipo de movimiento es constante,
como se ve en el gráfico de velocidad en
función
del tiempo (v(t)) donde está representada la velocidad. Si
llevamos a un gráfico la posición a cada instante que está indicada en la tabla,
veremos que encontramos una recta. Si observamos detenidamente el cuadro podemos
darnos cuenta de que la posición a cada instante se puede calcular multiplicando
ese instante (t) por la velocidad (v), de esa manera tenemos
que:
Supongamos
que estamos mirando los coches que transitan por una avenida recta, todos los
autos tendrán la misma dirección (la calle) pero no tienen que ir hacia un mismo
lado, pueden poseer distinto sentido. Es importante en un movimiento indicar la
dirección (recta a la que pertenece) y el sentido en que se mueve. En matemática
existe un elemento que indica sentido y dirección además del módulo (cantidad de
velocidad) es el vector. A toda variable que puede ser representada por un
vector la llamaremos "magnitud vectorial".
y,
aunque no lo nombramos, de desplazamiento. Pero estas tres palabras tienen
distinto significado en física. Supongamos que te encuentras en una esquina, ésa
será tu posición inicial y para facilitar las cosas desde allí empezaremos a
contar por lo que xo = 0 m. Ahora caminas dos cuadras sobre la
misma manzana. El espacio recorrido será de 200 m, ya que cada cuadra tiene 100
m, pero el desplazamiento, la línea recta que une ambas posiciones, si aplicamos
Pitágoras (ver figura) será de 141,42 m. Es más, si das la vuelta manzana, el
espacio recorrido ha de ser de 400 m. pero el desplazamiento nulo.
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