Nadie aprende si no se ha equivocado al intentarlo...

Home

CBC (U.B.A.)

Matemática

Física

Química

Biología

Links

Videos Educativos

 
 

Movimiento en dos dimensiones

Autora: Silvia Sokolovsky


Aproximándonos un poco más a los movimientos reales que ocurren cotidianamente, o sea, todos los días, comenzaremos a estudiar los movimientos que no son rectilíneos. En este caso no sólo se debe tener en cuenta el desplazamiento horizontal (eje x) ó el vertical (eje y) sino que debemos observar ambos a la vez.

Como ya se había dicho, la velocidad es la mejor representante del movimiento, por eso analizaremos que le sucede en este caso. Toda velocidad que se mueva horizontalmente recibirá el nombre de vx, mientras aquella que se mueva verticalmente será llamada vy.

Recordando lo que aprendiste en la escuela, si tenemos dos vectores podemos sumarlos y hallar un tercero llamado resultante. Para ello utilizaremos el método del paralelogramo, en el cual trazamos dos segmentos paralelos a la dirección de cada vector, por los extremos de los mismos. Uniendo la intersección de los vectores y de los segmentos paralelos (puntos en color) obtendremos un vector velocidad (resultante) que indica la dirección y sentido del desplazamiento del objeto en dicho punto y en ese preciso instante.

Por supuesto que si cambia vx ó vy , la dirección, sentido y módulo de V resultante no será el mismo. Por lo tanto, todo movimiento en dos dimensiones donde una de las velocidades varíe no podrá ser rectilíneo.

Tiro Oblicuo: Todo cuerpo que se halle suspendido en el aire, al soltarlo, caerá libremente en línea recta al suelo, pues sobre él actúa la fuerza de gravedad acelerándolo. Si en ese preciso momento le pegamos con dirección horizontal (figura) este cuerpo no se moverá ni horizontalmente ni verticalmente, sino que tomará una dirección intermedia que podemos hallar aplicando el método del paralelogramo por que los dos desplazamientos (horizontal y vertical) son vectores.

El cuerpo que se encuentra sometido a la acción de dos vectores cae al mismo tiempo que se desplaza horizontalmente. El problema es que a medida que cae su velocidad vertical aumenta a cada instante (M.R.U.V.) pero su velocidad horizontal, al no verse afectada por ningún rozamiento, resistencia del aire, ni siquiera por la gravedad, no varía en magnitud (M.R.U.)

Si tomamos dos posiciones cualesquiera durante una caída (no vertical) podemos observar que la velocidad resultante en ambos casos presenta distinta magnitud y dirección. Deja caer el capuchón de tu birome o una goma y pégale horizontalmente para ver que la trayectoria no es recta, siempre describirá la misma trayectoria curva, desacelerando cuando sube y acelerando al bajar.

Este tipo de tiro, llamado tiro oblicuo, es mucho más complicado que los movimientos que vimos anteriormente, pero puede ser descompuesto en un movimiento vertical (acelerado o desacelerado) y un movimiento horizontal rectilíneo uniforme (M.R.U.), lo que puede facilitarnos su estudio.

Velocidad Tangencial : En todo movimiento no rectilíneo, la vm (velocidad media) puede interpretarse geométricamente como la medida de inclinación de la recta determinada por dos puntos cualesquiera de la trayectoria. Su valor depende del intervalo de tiempo (t) escogido, de manera que cuanto mayor sea la inclinación menor será t. Observando la figura vemos dos intervalos de tiempo, uno menor que el otro. La velocidad media del más chico está más inclinada, su ángulo es mayor, por lo tanto su módulo también es mayor.

La velocidad aumenta su inclinación cuando t se hace cada vez más chico (tiende a cero) pero la velocidad no puede dejar de tocar la curva, entonces, cuando t sea tan pequeño como para suponer que nos encontramos en un instante la velocidad será tangente a la curva. Una recta tangente es aquella que corta en un solo punto a una curva. Esta velocidad, que no es otra que la velocidad instantánea, siempre será tangente en un punto a la trayectoria, por eso suele llamársela velocidad tangencial.

En el caso del movimiento rectilíneo, la recta tangente a una recta posee su misma dirección; por eso las velocidades son colineales (única dirección).

Vector Posición : Cualquier objeto cuya posición pueda describirse localizando un solo punto puede denominarse partícula; no interesa su tamaño ni estructura interna. Esta partícula puede moverse dentro de nuestro universo físico en una, dos o tres dimensiones si se desplaza sobre una recta, un plano o en el espacio. Podemos describir la posición de una partícula confinada a un plano mediante sus coordenadas cartesianas (rx ; ry), o mediante un vector "r" cuyo origen está en el centro de coordenadas. Pero puede descomponerse (desdoblarse) en dos componentes, cada una sobre un eje.

Llamaremos a la componente sobre las abscisas y a la componente sobre las ordenadas. El vector posición se relaciona con sus componentes a través de las funciones trigonométricas del ángulo.

De esa manera tenemos:

Si operamos matemáticamente resolviendo estas cuentas veremos que el módulo de cada componente es igual al valor de la coordenada correspondiente al eje donde se encuentra:

Un vector puede nombrarse indicando el módulo de sus componentes señalando sobre que eje estas se hallan. Para eso se utiliza a los versores. El versor o vector unitario, es un vector cuyo módulo siempre es uno. Sobre el eje x encontramos al versor "i" y sobre el eje y hallaremos al versor "j". Podemos describir al vector posición así:

En la figura a se hallan marcadas dos posiciones (P1 y P2) de un objeto que cae en tiro oblicuo. Los vectores posición de cada punto

tienen sus respectivas coordenadas cartesianas: ; .

Dr es el desplazamiento desde P1 hasta P2. Hallamos su módulo simplemente restando los dos vectores:

 

Como ya determinamos el desplazamiento, calculemos la velocidad media:

(distribuimos Dt.)

Ecuación de la Trayectoria : La trayectoria en este movimiento depende tanto del desplazamiento vertical como del horizontal. En un momento dado podemos encontrar un punto en el cual hayamos recorrido distancia x y hayamos alcanzado cierta altura y empleando, por supuesto, el mismo intervalo de tiempo t.

Así que utilizamos la ecuación " Dx = vx . Dt " despejamos Dt tendremos

Si reemplazamos en la ecuación horaria:

 

operando matemáticamente llegamos a: 

Elementos para toma en cuenta al resolver un ejercicio:

Ya habíamos aclarado que un cuerpo arrojado en tiro oblicuo presenta una trayectoria parabólica. La parábola presenta un eje que divide a la gráfica en dos partes iguales (figura). Físicamente, esto implica que el tiempo empleado en el primer tramo (antes del eje) será igual al segundo. Además, dos posiciones distintas x1 y x2 pueden tener la misma altura.

Un cuerpo desplazándose en tiro oblicuo se mueve en dos dimensiones, una horizontal y otra vertical. Sobre el desplazamiento horizontal no actúa ninguna fuerza por cuanto este movimiento es uniforme.

Así que Dx = vx . t

La cosa cambia cuando consideramos el desplazamiento vertical, aquí actúa la fuerza de gravedad produciendo aceleración (g), vector cuya dirección perpendicular al suelo siempre apunta hacia abajo. Si comparamos vemos que son colineales pero de sentidos opuestos. El destino de este cuerpo es detenerse, pero está en el aire, entonces cuando vy sea cero, él empezará a caer.

"En la altura máxima que un cuerpo puede alcanzar, en estas condiciones, la componente vertical de la velocidad, es nula".

Ejercicios Explicados:

F Un cañón dispara una bala con una velocidad de 500 m/s con un ángulo respecto al suelo de 30º. Indica a que distancia puede hallarse el blanco si la bala impacta a una altura de 5 m.

Solución: " Un cañón dispara ... ", la velocidad de 500 m/seg. corresponde a la velocidad inicial. Como el ángulo de disparo es de 30º, suponemos (y con razón) que vo se halla inclinada 30º. El disparo se realiza desde el suelo, por lo tanto la posición inicial en ambos desplazamientos (horizontal y vertical) será cero. La componente vertical de la velocidad tiene sentido opuesto al de la gravedad, entonces será negativa.

Datos: vo = 500 m/s, a = 30°, Dy = 5 m, g

Incógnita: Dx = ?

En un tiro oblicuo puede hallarse al objeto ubicado a la misma altura en dos instantes diferentes, uno cuando sube otro cuando baja. Es lícito imaginar que las distancias recorridas en ambos intervalos no serán las mismas. Encontramos que a una misma altura el cuerpo se halla en dos posiciones horizontales diferentes Dx1 cuando sube y Dx2 cuando baja.

Nos conviene utilizar por lo tanto la ecuación de la trayectoria:

Suplantamos los datos correspondientes y despejamos Dx (distancia, o sea el alcance).

Resolvemos e igualamos a cero: - 2,7.10 – 5 Dx 2 + tg 30º Dx – 5 = 0

Aplicamos ecuación cuadrática:

Þ  Dx1 = 8,66 m. y Dx2 = 21374,7 m = 21,64 Km.

F Jaimito dispara una piedra desde el nivel del piso, con su super – honda, logrando que salga despedida con una velocidad 15 m/s i + 20 m/s j, de manera que hace impacto sobre un loro malhablado posado en la rama de un árbol que está a 45 m de distancia del punto de lanzamiento a) Calcular a que altura estaba posado el loro b) Determinar el vector velocidad de la piedra en el instante de pegarle al loro, y, sobre un esquema de la trayectoria, representar los vectores velocidad y aceleración de la piedra en dicho instante.

Solución: Como la velocidad inicial está expresada vectorialmente = 15 m/s i + 20 m/s j. podemos afirmar que: vx = 15 m/s y vy = 20 m/s. Hay que tener en cuenta que a vy tiene signo positivo, opuesto al de la gravedad.

a) Calculemos la altura en que se encuentra el loro. Para ello indiquemos los datos que nos da el problema: Datos: Dx = 45 m ; vx = 15 m/s ; vy = 20 m/s ; g = - 10 m/s2

En el problema Dx se relaciona con Dy , por lo tanto vamos a utilizar la ecuación de la trayectoria.

Como no tenemos al ángulo a, busquémoslo.

Ahora pongamos los datos en esta ecuación.

b) Para poder determinar el vector velocidad de la piedra en el momento del impacto necesitamos hallar vx y vy en ese preciso instante. . vx no cambia pues horizontalmente tenemos un M.R.U.

. Ahora, vy está sometida a la acción de la gravedad, podemos calcular su módulo:

Según la piedra suba o baje tendremos un signo "+" o "-" para. Como no sabemos si la piedra está subiendo o bajando hallemos las dos posiciones horizontales (Dx) para la altura que está el loro (15 m)

Como se encontraba a los 45 m, estaba bajando, .


Movimiento Circular Uniforme (MCU):

Hemos visto que la aceleración se produce cuando se manifiesta un cambio de velocidad. En el tiro oblicuo la magnitud de la velocidad varía tanto en módulo como en dirección a medida que el cuerpo avanza. En el movimiento circular uniforme la velocidad también cambia de dirección pero su módulo permanece constante.

Observemos la trayectoria circular de la figura, tenemos posiciones con sus respectivos vectores en los instantes t1 y t2 (ambos distintos). Además encontramos las correspondientes velocidades tangenciales a la circunferencia en dichos puntos a las que llamaremos v1 y v2. La variación de la velocidad en el intervalo de tiempo es la diferencia entre los dos vectores velocidad. La variación de velocidad respecto al tiempo sigue dándonos valor de la aceleración:

Si comparamos el triángulo formado por v1, v2 y Dv , y con el triángulo compuesto por r1, r2 y Dr, nos damos cuenta que son semejantes, ya que ambos triángulos son isósceles (radios y velocidades iguales; además de tener el mismo ángulo). Así que hallamos una proporcionalidad entre los lados de estas dos figuras: (por MRU reemplazo Dr por v . Dt)

La aceleración es un vector que, cuando Dt ® 0, tiene una dirección perpendicular a la velocidad tangencial (la misma que la del radio) apuntando siempre al centro del círculo. Es por eso que se la llama aceleración centrípeta.

Período y frecuencia : El sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es el sexagesimal, divide a esta figura en seis partes de 60º cada una, obteniendo un giro completo de 360º. Cuando se quiso utilizar este sistema para poder calcular el camino desarrollado por alguna partícula en trayectoria circular se encontraron que este sistema no los ayudaba pues, matemáticamente, no está relacionado con el arco que describe el cuerpo al moverse. De esa manera se "inventó" otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ángulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la circunferencia hecha por la trayectoria de la partícula.

En este sistema un ángulo llano (al dividir el arco por el radio) mide 3,14 (que es el valor aproximado de "p"). De esa manera un giro completo (que es lo mismo que dos ángulos llanos) mide 2p.

Este movimiento circular es periódico y constante, por lo tanto una partícula describe, en estas circunstancias, las mismas circunferencias en igual intervalo de tiempo. Este intervalo de tiempo recibe el nombre de período y se representa con la letra T.

Cuando una partícula gira en un mismo intervalo de tiempo, hace la misma cantidad de giros por cada unidad de tiempo. Estamos hablando de la frecuencia ( f ), de la cantidad de vueltas que da un objeto por cada segundo, cada minuto, cada hora, por cada unidad de tiempo.

La frecuencia y el período son inversamente proporcionales : T =

Si el período está medido en segundos, la unidad de medida de la frecuencia será el Hertz (Hz) que es lo mismo que seg.-1 . Si el período está medido en minutos, la unidad de medida de la frecuencia será r. p.m. (revoluciones por minuto)

Velocidad Angular : Si en vez de fijarnos en el punto que gira analizamos el vector posición, observaremos que este "barre" un área en función del tiempo. Ese área barrida es un ángulo. Así que podemos medir este movimiento mediante el ángulo que describen estos vectores durante el desplazamiento. Por lo tanto, existe una velocidad angular (w) que establece la variación del ángulo (desde una posición inicial) en función del tiempo. 

ω = Δα / Δt.

Si medimos los ángulos en sistema circular (radianes) el ángulo que se forma al dar una vuelta (un giro) es 2π, así pues:

ω = 2π / T       Donde T es el período, tiempo que tarda en dar una vuelta.

Ejercicios Resueltos:

 Despreciando cualquier influencia externa, si dejamos un globo suelto a 5000 m de altura ¿Qué distancia recorrerá en 5 hs.? Radio terrestre 6357 km.

Solución: evidentemente si dejamos un globo suelto y lo libramos de toda influencia externa (incluso del viento y la atracción terrestre) se quedará allí sin moverse, pero la tierra (que sigue moviéndose) se desplazará en ese intervalo de tiempo. Lo que tenemos que saber es cuanto se "correrá" esa posición de nuestro planeta para que cualquier persona ubicada allí perciba el movimiento aparente del globo. El período de rotación terrestre es de 24 hs y el radio de 6357 km sumándole a altura su radio de giro es de 6362 Km., podemos calcular la velocidad tangencial con que rota el planeta.

El tiempo transcurrido es 5 hs. así que la distancia recorrida es:

Dx = 1665,57 km/h. 5h = 8327,84 km

F En un movimiento circular uniforme, con centro en el origen de coordenadas, se observa que para cierto instante la posición es r = 8 m i + 6 m j mientras que la velocidad angular tiene un valor de 2 seg-1. Calcular y representar sobre un esquema de la trayectoria : a) el vector velocidad para ese instante, b) el vector aceleración en el mismo instante.

Como el problema lo pide, dibujemos la situación indicando con un color la velocidad (siempre tangente) y de otro la aceleración centrípeta.

Datos: w = 2 seg-1; r = 8 m i + 6 m j

Incógnita: v = ?; ac = ?

a) Para hallar el vector velocidad basta con utilizar: v = w . r (reemplacemos por los datos)

v = 2 seg – 1.( 8m i + 6m j ), distribuyamos la velocidad angular y al operar matemáticamente tendremos:

v = 16 m/s i + 12 m/s j

b) Para encontrar la aceleración procedemos del mismo modo la ecuación de la aceleración, reemplazamos los datos y resolvemos:

ac = w2.r = (2 seg– 1)2. (8m i + 6m j) = 32 m/seg2 i + 24 m/seg2 j. 

MRU _ MRUVDinámica

Octubre 2002


  © copyright 2002

Soko.com.ar es un sitio dedicado a difundir educación